Una soluzione a uno dei più fondamentali problemi irrisolti in matematica

Alessio Zaccone, docente di Metodi matematici della Fisica presso il dipartimento di Fisica "Aldo Pontremoli" dell'Università Statale di Milano, ha presentato una soluzione ad uno dei più fondamentali e irrisolti problemi nella geometria discreta, con profonde connessioni con la fisica dei sistemi disordinati fornendo una risposta al quesito su come determinare la massima frazione di volume che un insieme di sfere possono occupare nello spazio.

Il lavoro è stato pubblicato sulla rivista Physical Review Letters, la più prestigiosa rivista internazionale di Fisica, che ha ritenuto di presentare l’articolo come "Editors’ suggestion" e di evidenziarlo in prima pagina.

Il quesito è strettamente legato ad un problema che il grande matematico tedesco David Hilbert agli inizi del ‘900 inserì nella sua famosa lista di problemi matematici fondamentali per quali non vi era ancora una soluzione (il legame è infatti con il 18esimo problema di Hilbert).

“Immaginate – spiega Alessio Zaccone inquadrando il problema matematico a cui ha trovato soluzione - di mettere delle arance o delle palle da tennis in un contenitore rigido. In che modo si possono sistemare nel contenitore in modo che esse occupino il maggior volume possibile? O in altre parole, qual e’ la densita’ massima raggiungibile dalle palle da tennis nel contenitore?”

Il problema ha due "risposte" a seconda che le sfere siano disposte nello spazio in maniera ordinata (ovvero come atomi in un reticolo cristallino) oppure in maniera disordinata o "random".

“La prima parte del problema - illustra il professor Zaccone - aveva già ottenuto una risposta a livello quantitativo da quando Keplero ipotizzo’ che sfere ordinate in un reticolo  a facce centrate forniscono l’impaccamento piu’ denso in assoluto. Gauss, nell’800, calcolo’ analiticamente la frazione di volume occupato (circa 0.74) e piu’ recentemente il matematico americano Thomas Hales negli anni ‘90 del XX secolo ha dimostrato con metodi formali che per il caso ordinato la congettura di Keplero e’ verificata in maniera rigorosa. Per il caso invece di sfere impaccate in maniera disordinata – prosegue Zaccone -, fino ad ora solo simulazioni numeriche al calcolatore ed esperimenti in laboratorio hanno suggerito che la frazione volumica massima e’ dell’ordine di 0.64-0.65 (nello spazio 3D), ma una soluzione matematica in forma analitica e’ rimasta elusiva. L’unica teoria matematica che fornisce una stima della frazione volumica in questo caso e’ quella basata sul concetto di Edwards ensemble (inizialmente proposto dal fisico britannico Sir Sam Edwards), che pero’ utilizza numerose assunzioni alcune delle quali difficili da verificare”.

La soluzione trovata da Alessio Zaccone è invece molto più semplice e per certi versi sorprendente. Essa si basa infatti su un semplice modello statistico-probabilistico utilizzato nella teoria atomica dei liquidi per calcolare la probabilità di avere un certo numero di sfere a distanza da una data sfera all’aumentare della densità delle sfere. Non vengono utilizzate ulteriori assunzioni tranne quella fisicamente sensata sulla impenetrabilita’ delle sfere quando vengono a contatto. "Per lungo tempo si pensava che una soluzione statistica a questo problema fosse impossibile data la complessita’ delle interazioni fisiche fra tante sfere che si respingono a contatto. Invece la soluzione matematica trovata ha prodotto valori in buon accordo con i dati sperimentali sia in 3D che in 2D", conclude Alessio Zaccone.

Il link allo studio pubblicato su Physical Review Letters.